Il principio fondamentale del calcolo combinatorio, disposizioni semplici e con ripetizione, permutazioni, fattoriale e permutazioni con elementi ripetuti.
Contare senza elencare
Quante password di \(4\) cifre esistono? Quanti modi ci sono di sistemare \(8\) atleti sul podio? Elencare tutte le possibilità sarebbe lunghissimo. Il calcolo combinatorio insegna a contarle con un calcolo.
Il principio fondamentale
Disposizioni
Si scelgono \(k\) elementi da un insieme di \(n\), e l'ordine conta.
Permutazioni e fattoriale
Una permutazione è un modo di ordinare tutti gli \(n\) elementi: è una disposizione con \(k = n\).
Con il fattoriale le disposizioni si scrivono anche \(D_{n,k} = \frac{n!}{(n - k)!}\).
Permutazioni con ripetizione
Se alcuni elementi sono uguali, scambiarli non produce un ordinamento nuovo. Si divide per i fattoriali delle ripetizioni.
Esercizi
Verifica veloce
Quanto vale \(5!\)?
\(5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120\).
Verifica veloce
Un lucchetto ha \(3\) rotelle con le cifre da \(0\) a \(9\). Quante combinazioni possibili ci sono?
Ogni rotella ha \(10\) cifre, anche ripetute: \(10^3 = 1000\).
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