La distribuzione binomiale e la distribuzione normale | Probabilità e statistica

Prove ripetute

Molti problemi hanno la stessa struttura: si ripete $$n$$ volte una prova che può dare successo (con probabilità $$p$$ ) o insuccesso (con probabilità $$1 - p$$ ), e le prove sono indipendenti. Si vuole sapere quanti successi si ottengono.

Esempi: il numero di $$6$$ in $$5$$ lanci di un dado; il numero di risposte giuste tirando a indovinare in un test; il numero di pezzi difettosi in un lotto.

La distribuzione binomiale

Con $$3$$ lanci di moneta, la probabilità di esattamente $$2$$ teste: ogni sequenza con $$2$$ teste e $$1$$ croce (TTC, TCT, CTT) ha probabilità $\left(\frac{1}{2}\right)^3$ , e le sequenze sono $\binom{3}{2} = 3$ . Quindi $P = 3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ .

Il coefficiente binomiale conta in quali prove cadono i $$k$$ successi; le potenze danno la probabilità di ciascuna di quelle sequenze.

La distribuzione normale

Molte grandezze naturali (altezze, errori di misura, punteggi nei test) si distribuiscono secondo una curva a campana, simmetrica attorno alla media: la distribuzione normale (o di Gauss).

È una distribuzione continua: le probabilità corrispondono ad aree sotto la curva, e l'area totale è $$1$$ .

La standardizzazione

Per confrontare valori di normali diverse si usa la variabile standardizzata

z = \frac{x - \mu}{\sigma}

che dice di quanti scarti quadratici medi $$x$$ si allontana dalla media. Le tavole della normale standard ( $\mu = 0$ , $\sigma = 1$ ) danno le probabilità per qualsiasi $$z$$ .

Esercizi

Verifica veloce

Qual è il valore atteso del numero di successi in una distribuzione binomiale con $$n = 20$$ e $$p = 0{,}3$$ ?

Verifica veloce

In una distribuzione normale, quale percentuale dei valori cade circa entro uno scarto quadratico medio dalla media?