Le combinazioni semplici, il coefficiente binomiale e le sue proprietà, il triangolo di Tartaglia e la formula del binomio di Newton.
Quando l'ordine non conta
Da una classe di \(10\) studenti si sceglie un comitato di \(3\). Il comitato "Anna, Bruno, Carla" è lo stesso di "Carla, Anna, Bruno": l'ordine non conta. Le disposizioni contano ogni gruppo più volte, una per ogni modo di ordinarlo.
Un gruppo di \(3\) persone si può ordinare in \(3! = 6\) modi. Quindi i comitati sono
La seconda ha un senso concreto: scegliere i \(k\) elementi da prendere equivale a scegliere gli \(n - k\) da lasciare. Per esempio \(\binom{10}{8} = \binom{10}{2} = 45\).
Il triangolo di Tartaglia
La terza proprietà dice che ogni coefficiente è la somma dei due sopra di lui. Disponendoli in righe si ottiene il triangolo di Tartaglia: