La probabilità di "A oppure B" Si estrae una carta da un mazzo di \(52\) .oppure un re?
Le carte di cuori sono \(13\) ,\(4\) .due volte . Bisogna toglierlo una volta.
RegolaTeorema della somma (probabilità totale)
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]
dove \(A \cup B\) è "A oppure B" (almeno uno dei due) e \(A \cap B\) è "A e B insieme".
\[P(\text{cuori o re}) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\]
DefinizioneEventi incompatibili
Due eventi sono incompatibili se non possono verificarsi insieme: \(P(A \cap B) = 0\) .\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\) .
"Esce \(1\) " ed "esce \(6\) " su un dado sono incompatibili: \(P = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}\) .
La probabilità condizionata A volte si sa già qualcosa sul risultato. Se ti dicono che il dado ha dato un numero maggiore di \(3\) ,
I casi possibili ora sono solo \(\{4, 5, 6\}\) ,\(\{4, 6\}\) :\(\frac{2}{3}\) .
DefinizioneProbabilità condizionata
La probabilità di \(A\) sapendo che si è verificato \(B\) è
\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \qquad (P(B) > 0)\]
Eventi indipendenti e teorema del prodotto Dalla definizione si ricava la probabilità che due eventi si verifichino insieme :
RegolaTeorema del prodotto
\[P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A \mid B)\]
DefinizioneEventi indipendenti
\(A\) e \(B\) sono indipendenti se il verificarsi di uno non cambia la probabilità dell'altro: \(P(A \mid B) = P(A)\) .
\[P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\]
Due lanci di moneta sono indipendenti: \(P(\text{due teste}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\) .
Estrazioni con e senza reimmissione EsempioDue palline rosse
Un'urna contiene \(4\) palline rosse e \(6\) blu. Se ne estraggono due.
Con reimmissione (la prima pallina viene rimessa nell'urna): le estrazioni sono indipendenti.
\[P = \frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10} = \frac{4}{25}\]
Senza reimmissione : dopo una rossa, nell'urna restano \(3\) rosse su \(9\) .
\[P = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{2}{15}\]
AttenzioneIncompatibili non vuol dire indipendenti
Due eventi incompatibili (con probabilità positive) non sono indipendenti: se si verifica uno, l'altro diventa impossibile, quindi la sua probabilità cambia eccome.
Esercizi Esercizio
\(P(A) = 0{,}5\) ,\(P(B) = 0{,}4\) ,\(P(A \cap B) = 0{,}2\) .\(P(A \cup B)\) .\(A\) e \(B\) sono indipendenti?
Mostra Nascondi la soluzione\(P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}7\) .
\(P(A) \cdot P(B) = 0{,}2 = P(A \cap B)\) : sì, sono indipendenti.
Esercizio
Un arciere colpisce il bersaglio con probabilità \(0{,}8\) a ogni tiro, indipendentemente dagli altri. Qual è la probabilità che su due tiri lo colpisca almeno una volta?
Mostra Nascondi la soluzioneIl contrario è "manca entrambe le volte": \(0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}04\) .\(P = 1 - 0{,}04 = 0{,}96\) .
Esercizio
Si estraggono \(3\) carte senza reimmissione da un mazzo di \(52\) .
Mostra Nascondi la soluzione\[\frac{4}{52} \cdot \frac{3}{51} \cdot \frac{2}{50} = \frac{24}{132\,600} = \frac{1}{5525}\]
Verifica veloce
Si lanciano un dado e una moneta. Qual è la probabilità di ottenere \(6\) e testa?
A \(\frac{1}{6}\) B \(\frac{2}{3}\) C \(\frac{1}{12}\) D \(\frac{7}{12}\)
Eventi indipendenti: \(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{12}\) .
Verifica veloce
Se \(A\) e \(B\) sono incompatibili, quanto vale \(P(A \cap B)\) ?
A \(0\) B \(P(A) \cdot P(B)\) C \(P(A) + P(B)\) D \(1\)
Non possono verificarsi insieme.