Il piano cartesiano, distanza e punto medio

Numeri al posto delle figure

L'idea della geometria analitica, dovuta a Cartesio, è semplice e potente: descrivere i punti con numeri e le figure con equazioni. Così i problemi di geometria diventano problemi di algebra.

Si fissano due rette perpendicolari, l'asse \(x\) (delle ascisse, orizzontale) e l'asse \(y\) (delle ordinate, verticale), che si incontrano nell'origine \(O\). Ogni punto \(P\) del piano corrisponde a una coppia di numeri \((x;\, y)\): le sue coordinate.

Gli assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra:

I punti dell'asse \(x\) hanno \(y = 0\); quelli dell'asse \(y\) hanno \(x = 0\).

La distanza tra due punti

Dati \(A(x_1;\, y_1)\) e \(B(x_2;\, y_2)\), il segmento \(AB\) è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con i cateti paralleli agli assi, lunghi \(|x_2 - x_1|\) e \(|y_2 - y_1|\). Per il teorema di Pitagora:

Se i due punti hanno la stessa ascissa (o la stessa ordinata), la distanza è semplicemente il valore assoluto della differenza delle altre coordinate.

Il punto medio

Per esempio il triangolo \(A(0;\, 0)\), \(B(6;\, 0)\), \(C(3;\, 9)\) ha baricentro \(G(3;\, 3)\).

Studiare un triangolo con le coordinate

Esercizi