La parabola come luogo geometrico, l'equazione con asse verticale, vertice, asse, fuoco e direttrice, concavità e come trovare la parabola per tre punti.
La definizione
Il punto della parabola più vicino alla direttrice si chiama vertice e sta esattamente a metà tra il fuoco e la direttrice. La retta per il fuoco perpendicolare alla direttrice è l'asse di simmetria.
L'equazione con asse verticale
Se la direttrice è orizzontale, l'asse è verticale e la parabola ha equazione
\[y = ax^2 + bx + c \qquad (a \neq 0)\]
Il caso più semplice è \(y = ax^2\): vertice nell'origine e asse coincidente con l'asse \(y\).
Gli elementi della parabola
Con \(\Delta = b^2 - 4ac\):
Non serve ricordare a memoria l'ordinata del vertice: basta sostituire \(x_V = -\frac{b}{2a}\) nell'equazione della parabola.
Trovare l'equazione di una parabola
L'equazione \(y = ax^2 + bx + c\) ha tre coefficienti, quindi servono tre condizioni. Ogni punto per cui passa la parabola dà un'equazione.
Conoscendo il vertice \(V(x_V;\, y_V)\) si può anche partire dalla forma \(y = a(x - x_V)^2 + y_V\): resta solo \(a\) da trovare.
Esercizi
Verifica veloce
Com'è rivolta la concavità della parabola \(y = -x^2 + 3\)?
Il coefficiente di \(x^2\) è negativo.
Verifica veloce
Qual è l'ascissa del vertice di \(y = x^2 - 6x + 1\)?
\(x_V = -\frac{b}{2a} = \frac{6}{2} = 3\).
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