L'equazione della circonferenza dato centro e raggio, la forma normale, come trovare centro e raggio e quando un'equazione rappresenta davvero una circonferenza.
Dalla definizione all'equazione
La circonferenza di centro \(C(x_0;\, y_0)\) e raggio \(r\) è l'insieme dei punti \(P(x;\, y)\) che distano \(r\) da \(C\). Con la formula della distanza:
\[\sqrt{(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2} = r\]
Elevando al quadrato si ottiene l'equazione.
La circonferenza con centro nell'origine ha l'equazione più semplice: \(x^2 + y^2 = r^2\).
La forma normale
Svolgendo i quadrati e portando tutto a sinistra si ottiene la forma normale:
\[x^2 + y^2 + ax + by + c = 0\]
Riconoscerla è facile: i coefficienti di \(x^2\) e \(y^2\) sono uguali (di solito \(1, 1\)) e non c'è il termine in \(xy\).
Trovare una circonferenza
L'equazione in forma normale ha tre coefficienti, quindi bastano tre condizioni: per esempio centro e un punto, oppure tre punti.
Esercizi
Verifica veloce
Qual è il centro della circonferenza \((x + 2)^2 + (y - 5)^2 = 9\)?
Le coordinate del centro hanno il segno opposto a quello nelle parentesi.
Verifica veloce
Qual è il raggio della circonferenza \(x^2 + y^2 = 49\)?
\(r^2 = 49\), quindi \(r = 7\).
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