L'ellisse come luogo geometrico, l'equazione canonica, vertici, fuochi, assi ed eccentricità, con i fuochi sull'asse x o sull'asse y.
La definizione
Pianta due chiodi su un'asse, lega ai chiodi un filo più lungo della loro distanza e, tenendo il filo teso con una matita, fai girare la matita. Disegnerai un'ellisse: la forma delle orbite dei pianeti.
La somma costante è la lunghezza del filo, e si indica con \(2a\).
L'equazione canonica
Se i fuochi stanno sull'asse \(x\), simmetrici rispetto all'origine, in \(F_{1,2}(\pm c;\, 0)\), l'ellisse ha equazione
Se invece \(b > a\), l'ellisse è "allungata" in verticale, i fuochi stanno sull'asse \(y\) in \((0;\, \pm c)\) e vale \(c^2 = b^2 - a^2\).
L'eccentricità
Misura quanto l'ellisse è "schiacciata". Con \(e\) vicino a \(0\) i fuochi sono vicini al centro e l'ellisse somiglia a una circonferenza (che ha \(e = 0\)); con \(e\) vicino a \(1\) l'ellisse è molto allungata.
Esempi
Esercizi
Verifica veloce
Quale valore può avere l'eccentricità di un'ellisse?
Per l'ellisse \(0 \le e < 1\).
Verifica veloce
Un'ellisse ha semiassi \(a = 13\) e \(b = 12\), con \(a > b\). Quanto vale \(c\)?
\(c = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\).
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