L'iperbole | Geometria analitica

La definizione

L'iperbole somiglia all'ellisse, ma al posto della somma c'è la differenza.

A differenza dell'ellisse, l'iperbole è formata da due rami separati, che si allontanano all'infinito.

L'equazione canonica

L'iperbole non incontra l'asse $$y$$ : con $$x = 0$$ si otterrebbe $-\frac{y^2}{b^2} = 1$ , impossibile.

Se il segno meno sta davanti a $$x^2$$ , cioè $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ , i fuochi e i vertici stanno sull'asse $$y$$ : vertici $(0;\, \pm b)$ , fuochi $(0;\, \pm c)$ , con ancora $$c^2 = a^2 + b^2$$ e gli stessi asintoti $y = \pm\frac{b}{a}x$ .

Gli asintoti

Gli asintoti sono due rette a cui i rami dell'iperbole si avvicinano sempre di più, senza mai toccarle. Per disegnarli si costruisce il rettangolo con i lati sulle rette $x = \pm a$ e $y = \pm b$ : gli asintoti sono le sue diagonali prolungate.

L'eccentricità

Anche per l'iperbole con fuochi sull'asse $$x$$ si definisce $e = \frac{c}{a}$ . Siccome $$c > a$$ :

e > 1

Più $$e$$ è grande, più i rami sono "aperti".

L'iperbole equilatera

Ruotando un'iperbole equilatera di $$45°$$ gli asintoti diventano gli assi cartesiani e l'equazione diventa

xy = k

È l'iperbole riferita agli asintoti: è il grafico della proporzionalità inversa. Con $$k > 0$$ i rami stanno nel primo e terzo quadrante, con $$k < 0$$ nel secondo e quarto.

AttenzioneEllisse e iperbole a confronto

	Ellisse	Iperbole
equazione	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$
relazione	$$c^2 = a^2 - b^2$$	$$c^2 = a^2 + b^2$$
eccentricità	$0 \le e < 1$	$$e > 1$$

Esercizi

Verifica veloce

Quale valore può avere l'eccentricità di un'iperbole?

Verifica veloce

Quali sono gli asintoti di $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ ?