Lezione 6 di 9, 11 minuti di lettura
La funzione logaritmica
La funzione y = log_a x come inversa dell'esponenziale, il suo grafico, dominio, monotonia e asintoto, e come trovare il dominio di funzioni con logaritmi.
L'inversa dell'esponenziale
La funzione \(y = a^x\) associa a ogni esponente una potenza. La funzione logaritmica fa il percorso opposto: a ogni numero positivo associa l'esponente.
Il grafico di una funzione inversa si ottiene scambiando \(x\) e \(y\), cioè con la simmetria rispetto alla bisettrice \(y = x\). Per esempio, il grafico di \(2^x\) passa per \((0;\, 1)\), \((1;\, 2)\), \((3;\, 8)\); quello di \(\log_2 x\) passa per \((1;\, 0)\), \((2;\, 1)\), \((8;\, 3)\).
Le proprietà
Con \(a > 1\) il logaritmo è negativo tra \(0\) e \(1\) e positivo per \(x > 1\). Cresce sempre, ma molto lentamente: \(\log_{10} x\) arriva a \(6\) solo quando \(x\) è un milione.
Il dominio delle funzioni con logaritmi
Per trovare il dominio si impone che ogni argomento di logaritmo sia strettamente positivo, insieme alle altre condizioni (denominatori diversi da zero, radicandi non negativi).
Esercizi
Verifica veloce
Per quale punto passano tutti i grafici \(y = \log_a x\)?
\(\log_a 1 = 0\) per ogni base.
Verifica veloce
Qual è il dominio di \(y = \log x\)?
L'argomento di un logaritmo dev'essere strettamente positivo.
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