Equazioni esponenziali

L'idea: stessa base, stesso esponente

Un'equazione esponenziale ha l'incognita all'esponente, come \(2^{x+1} = 32\). Siccome \(y = a^x\) è sempre crescente o sempre decrescente, ogni valore viene raggiunto una sola volta:

Quindi la strategia è scrivere i due membri come potenze della stessa base, poi uguagliare gli esponenti.

Equazioni impossibili

Una potenza con base positiva è sempre positiva. Quindi equazioni come \(2^x = -4\) o \(3^x = 0\) non hanno soluzioni.

La sostituzione

Se compaiono \(a^x\) e \(a^{2x}\) (che è \((a^x)^2\)), si pone \(t = a^x\) e si ottiene un'equazione algebrica.

Basi diverse

Se le basi non si possono rendere uguali, come in \(3^x = 7\), serve un nuovo strumento: il logaritmo, che vedremo tra poco. La soluzione è il numero a cui bisogna elevare \(3\) per ottenere \(7\), e si scrive \(x = \log_3 7 \approx 1{,}77\).

Esercizi