La funzione esponenziale

Potenze con esponente reale

Sappiamo calcolare $$2^3$$ , $2^{-1}$ e $2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$ . Ma che cosa vuol dire $2^{\sqrt{2}}$ ? Si può definire approssimando l'esponente con numeri razionali sempre più vicini: $2^{1{,}4}$ , $2^{1{,}41}$ , $2^{1{,}414}$ ... Questi valori si avvicinano a un numero ben preciso, circa $$2{,}665$$ , che è $2^{\sqrt{2}}$ .

Così, per ogni base $$a > 0$$ , la potenza $$a^x$$ ha senso per qualsiasi numero reale $$x$$ . Tutte le proprietà delle potenze continuano a valere.

La base $$a = 1$$ si esclude perché $$1^x = 1$$ sempre: sarebbe una retta orizzontale. Le basi negative si escludono perché, per esempio, $(-4)^{\frac{1}{2}}$ non è un numero reale.

Il grafico

$$x$$	$$-2$$	$$-1$$	$$0$$	$$1$$	$$2$$	$$3$$
$$2^x$$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$$1$$	$$2$$	$$4$$	$$8$$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$$4$$	$$2$$	$$1$$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

I grafici di $$y = a^x$$ e di $y = \left(\frac{1}{a}\right)^x$ sono simmetrici rispetto all'asse $$y$$ , perché $\left(\frac{1}{a}\right)^x = a^{-x}$ .

Confrontare potenze

Dalla monotonia segue una regola pratica per confrontare due potenze con la stessa base:

Il numero $$e$$

Tra tutte le basi ce n'è una speciale, il numero di Nepero

e = 2{,}71828\ldots

È irrazionale come $\pi$ . Si ottiene, per esempio, come il valore a cui si avvicina $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ quando $$n$$ diventa grandissimo. La funzione $$y = e^x$$ compare ovunque nelle scienze, e nell'analisi matematica ha proprietà che la rendono la più comoda di tutte.

Grafici traslati

Esercizi

Verifica veloce

Per quale punto passano tutti i grafici $$y = a^x$$ ?

Verifica veloce

Per quali $$x$$ si ha $3^x \le 0$ ?

$\(x\)$	$\(-2\)$	$\(-1\)$	$\(0\)$	$\(1\)$	$\(2\)$	$\(3\)$
$\(2^x\)$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$\(1\)$	$\(2\)$	$\(4\)$	$\(8\)$
$\left(\frac{1}{2}\right)^x$	$\(4\)$	$\(2\)$	$\(1\)$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$

Potenze con esponente reale