Applicazioni di esponenziali e logaritmi: interesse composto, crescita di popolazioni, tempo di raddoppio, decadimento radioattivo e tempo di dimezzamento.
Crescere di una percentuale fissa
Se una quantità aumenta ogni anno del \(5\%\), ogni anno viene moltiplicata per \(1{,}05\). Dopo \(n\) anni è stata moltiplicata per \(1{,}05^n\). È una crescita esponenziale: la variabile tempo sta all'esponente.
L'interesse composto
Quanto tempo serve? I logaritmi
Quando l'incognita è il tempo, sta all'esponente: per trovarla servono i logaritmi.
Crescita a raddoppio e la base \(e\)
Spesso si conosce il tempo di raddoppio\(T\): in quel caso \(Q = Q_0 \cdot 2^{\frac{t}{T}}\).
Nelle scienze si usa molto la forma \(Q = Q_0 e^{kt}\), con la base \(e\):\(k > 0\) indica crescita, \(k < 0\) decadimento. È equivalente alle forme precedenti, perché ogni base si può scrivere come potenza di \(e\).
Il decadimento radioattivo
Un materiale radioattivo si dimezza sempre nello stesso tempo, il tempo di dimezzamento\(T\):
\[Q = Q_0\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}\]
Esercizi
Verifica veloce
Un'auto perde il \(15\%\) del suo valore ogni anno. Per quale numero si moltiplica il valore ogni anno?
Resta l'\(85\%\) del valore: \(1 - 0{,}15 = 0{,}85\).
Verifica veloce
Una sostanza ha un tempo di dimezzamento di \(10\) anni. Quale frazione ne resta dopo \(30\) anni?
Tre dimezzamenti: \(\left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}\).
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