Figure congruenti, lati e angoli congruenti | Approfondimenti

Cosa vuol dire "congruente"

In geometria due figure sono congruenti quando si possono sovrapporre perfettamente spostandole senza deformarle: senza allungarle, schiacciarle o tagliarle. Se ritagli una delle due da un foglio e riesci a posarla sull'altra in modo che i bordi combacino in ogni punto, le figure sono congruenti.

Il simbolo è $\cong$ . Si scrive per esempio $\overline{AB} \cong \overline{CD}$ ("il segmento $$AB$$ è congruente al segmento $$CD$$ ") oppure $A\hat{B}C \cong D\hat{E}F$ per due angoli.

A parole di tutti i giorni si direbbe che sono "uguali". A scuola si preferisce "congruenti" per un motivo preciso, che vediamo più avanti: in geometria "uguale" vuol dire "la stessa figura", mentre due figure congruenti possono stare in punti diversi del piano.

I movimenti rigidi

Un movimento rigido (o isometria) sposta una figura senza cambiarne misure. Nel piano ne bastano tre tipi, eventualmente uno dopo l'altro:

la traslazione: la figura scivola in una direzione, senza girare;
la rotazione: la figura gira attorno a un punto;
la simmetria assiale: la figura si ribalta rispetto a una retta, come in uno specchio.

Tutti e tre conservano le lunghezze dei lati, le ampiezze degli angoli e quindi anche perimetro e area. Cambiano solo la posizione e, nel caso della simmetria, il verso: una mano destra riflessa diventa una mano sinistra. Le due mani sono comunque congruenti, perché nel piano il ribaltamento è un movimento ammesso.

Congruenti, equivalenti, simili, uguali

Sono quattro parole che a scuola si confondono spesso. Ecco la differenza, con un esempio per ognuna.

Parola	Cosa vuol dire	Esempio
uguali	sono proprio la stessa figura, nello stesso posto	il segmento $$AB$$ e il segmento $$BA$$
congruenti	stessa forma e stesse misure, ma possono stare altrove	due quadrati di lato $$5$$ cm
equivalenti	stessa area, forma qualsiasi	un rettangolo $2 \times 8$ e un quadrato $4 \times 4$
simili	stessa forma, misure in proporzione	un triangolo e il suo ingrandimento

Le relazioni tra queste parole vanno in una sola direzione:

due figure congruenti sono sempre equivalenti (hanno la stessa area), ma due figure equivalenti di solito non sono congruenti: il rettangolo $2 \times 8$ e il quadrato $4 \times 4$ hanno entrambi area $$16$$ , ma non si sovrappongono;
due figure congruenti sono sempre simili, con rapporto di similitudine $$1$$ ; due figure simili sono congruenti solo se quel rapporto è proprio $$1$$ .

Il triangolo

\(A'B'C'\)

ha gli stessi angoli di

\(ABC\)

e i lati doppi: rapporto di similitudine

\(2\)

I due triangoli della figura hanno gli stessi angoli ma lati diversi: sono simili, non congruenti.

Segmenti e lati congruenti

Due segmenti sono congruenti quando hanno la stessa lunghezza. Per i segmenti la congruenza si controlla quindi con una sola misura.

Nei disegni i segmenti congruenti si segnano con delle stanghette: lo stesso numero di stanghette vuol dire stessa lunghezza.

Le stanghette indicano due segmenti congruenti:

\overline{AM} = \overline{MB}

Nei poligoni si parla di lati congruenti. Molti nomi delle figure dicono proprio quali lati sono congruenti:

triangolo equilatero: tre lati congruenti;
triangolo isoscele: (almeno) due lati congruenti, detti lati obliqui;
triangolo scaleno: nessun lato congruente a un altro;
rombo: quattro lati congruenti;
parallelogramma: lati opposti congruenti a due a due;
trapezio isoscele: i due lati obliqui congruenti.

Triangolo equilatero, isoscele e scaleno: le stanghette uguali indicano lati congruenti.

Angoli congruenti

Due angoli sono congruenti quando hanno la stessa ampiezza. Non conta quanto sono lunghi i lati disegnati: un angolo di $$40°$$ con lati lunghi $$2$$ cm e uno di $$40°$$ con lati lunghi $$10$$ cm sono congruenti, perché i lati di un angolo sono semirette e vanno avanti all'infinito.

Nei disegni gli angoli congruenti si segnano con lo stesso numero di archetti.

Ci sono alcune situazioni in cui due angoli sono congruenti "gratis", senza misurarli:

gli angoli opposti al vertice sono sempre congruenti;
quando una trasversale taglia due rette parallele, gli angoli alterni interni e quelli corrispondenti sono congruenti;
in un triangolo isoscele gli angoli alla base sono congruenti;
due angoli che hanno lo stesso complementare (o lo stesso supplementare) sono congruenti.

Quando due poligoni sono congruenti

Per i segmenti basta la lunghezza, per gli angoli basta l'ampiezza. Per i poligoni servono tutti i lati e tutti gli angoli, nell'ordine giusto.

Avere gli stessi lati non basta. Un quadrato di lato $$3$$ cm e un rombo di lato $$3$$ cm hanno quattro lati congruenti a quattro lati, ma il rombo ha angoli diversi da $$90°$$ e non si sovrappone al quadrato. Anzi, il rombo ha anche un'area più piccola. Per lo stesso motivo una cornice quadrata fatta di quattro asticelle si può "schiacciare" in un rombo: i lati restano gli stessi, gli angoli cambiano.

Il triangolo è l'unica eccezione comoda. Grazie ai criteri di congruenza non serve controllare sei elementi: ne bastano tre, scelti bene.

Gli elementi che bastano nei tre criteri: due lati e l'angolo compreso, un lato e i due angoli adiacenti, tre lati.

I tre criteri sono spiegati e dimostrati nella lezione sui criteri di congruenza. Qui conta soprattutto un'idea: quasi tutte le dimostrazioni di congruenza tra segmenti o angoli passano per due triangoli congruenti, anche quando la figura di partenza è un quadrilatero o una circonferenza.

Gli elementi corrispondenti

Quando si scrive $ABC \cong DEF$ , l'ordine delle lettere conta: significa che $$A$$ corrisponde a $$D$$ , $$B$$ a $$E$$ e $$C$$ a $$F$$ . Di conseguenza:

\overline{AB} \cong \overline{DE}, \quad \overline{BC} \cong \overline{EF}, \quad \overline{CA} \cong \overline{FD}, \quad \hat{A} \cong \hat{D}, \quad \hat{B} \cong \hat{E}, \quad \hat{C} \cong \hat{F}

Gli elementi che si corrispondono si chiamano omologhi. Un trucco per non sbagliare: in due triangoli congruenti, a lati congruenti si oppongono angoli congruenti. Se due lati omologhi sono $\overline{BC}$ e $\overline{EF}$ , gli angoli opposti a quei lati, $\hat{A}$ e $\hat{D}$ , sono anch'essi omologhi.

Le proprietà della congruenza

La congruenza tra figure si comporta come l'uguaglianza tra numeri. Valgono tre proprietà:

riflessiva: ogni figura è congruente a se stessa, $F \cong F$ ;
simmetrica: se $F \cong G$ , allora $G \cong F$ ;
transitiva: se $F \cong G$ e $G \cong H$ , allora $F \cong H$ .

Per i segmenti e gli angoli vale anche questa regola, usatissima nelle dimostrazioni: somme e differenze di segmenti (o angoli) congruenti sono congruenti, e così anche le loro metà e i loro doppi. Se $\overline{AB} \cong \overline{CD}$ e $$M$$ , $$N$$ sono i loro punti medi, allora $\overline{AM} \cong \overline{CN}$ .

Una dimostrazione completa

Ecco come si usa tutto questo in una dimostrazione tipica.

Rettangolo: diagonali congruenti. Rombo: diagonali perpendicolari. Quadrato: tutte e due le cose.

Lo schema è sempre lo stesso: individuare due triangoli che contengono gli elementi da confrontare, trovare tre elementi congruenti che soddisfano un criterio, concludere con gli elementi omologhi.

Gli errori più comuni

Domande frequenti

Perché non si dice semplicemente "uguali"?

Perché in geometria due figure uguali sono la stessa identica figura. Due triangoli congruenti invece sono due triangoli distinti, magari lontani, che hanno le stesse misure. La parola "congruente" tiene separati i due concetti.

Due figure simmetriche sono congruenti?

Sì. La simmetria assiale è un movimento rigido: la figura riflessa ha gli stessi lati e gli stessi angoli, anche se è "girata".

Che differenza c'è tra $\overline{AB} \cong \overline{CD}$ e $\overline{AB} = \overline{CD}$ ?

In molti libri $\overline{AB} = \overline{CD}$ indica che le lunghezze sono uguali, mentre $\overline{AB} \cong \overline{CD}$ dice che i segmenti sono congruenti. Per i segmenti le due cose si equivalgono, quindi si trovano usate entrambe; nelle dimostrazioni è più corretto il simbolo $\cong$ .

Due cerchi con lo stesso raggio sono congruenti?

Sì: per le circonferenze e i cerchi basta il raggio. Si sovrappongono con una traslazione che porta un centro sull'altro.

Esercizi

Verifica veloce

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