Il coefficiente angolare di una retta

L'idea in una frase

Il coefficiente angolare \(m\) di una retta dice di quanto sale (o scende) la retta per ogni passo di \(1\) verso destra. Se \(m = 3\), ogni volta che ti sposti di un'unità a destra la retta sale di \(3\); se \(m = -\frac{1}{2}\), per ogni unità a destra scende di mezza unità.

È tutto qui. Formule, angoli e casi particolari che vedremo in questa pagina sono modi diversi di guardare questa stessa idea.

Prima della formula: la pendenza di una strada

Il cartello stradale con scritto "pendenza \(10\%\)" dice proprio un coefficiente angolare. Significa che per ogni \(100\) metri percorsi in orizzontale la strada sale di \(10\) metri:

Una strada con pendenza \(10\%\), disegnata su un piano cartesiano con i metri come unità, è una retta con \(m = 0{,}1\). Una salita al \(20\%\) è più ripida, \(m = 0{,}2\); una discesa al \(10\%\) ha \(m = -0{,}1\).

Lo stesso ragionamento serve per le rampe: le norme italiane sull'accessibilità chiedono che una rampa per carrozzine non superi di regola l'\(8\%\). Una rampa che deve superare un gradino di \(40\) cm deve quindi essere lunga, in orizzontale, almeno \(\frac{40}{0{,}08} = 500\) cm, cioè \(5\) metri. Il coefficiente angolare, in pratica, decide quanto spazio serve.

La formula da due punti

Se una retta passa per \(A(x_1;\, y_1)\) e \(B(x_2;\, y_2)\), lo spostamento verticale da \(A\) a \(B\) è \(\Delta y = y_2 - y_1\) e quello orizzontale è \(\Delta x = x_2 - x_1\). Il loro rapporto è il coefficiente angolare.

Perché il rapporto non cambia se scelgo altri due punti della stessa retta? Perché i triangoli rettangoli che si formano tra due punti qualsiasi di una retta sono tutti simili: se raddoppi lo spostamento orizzontale, raddoppia anche quello verticale, e il rapporto resta lo stesso. È questa proprietà che rende la pendenza una caratteristica della retta e non dei punti che hai scelto.

Cosa dice il segno, cosa dice il valore

Il segno di \(m\) dice la direzione:

• \(m > 0\): andando verso destra la retta sale;
• \(m < 0\): andando verso destra la retta scende;
• \(m = 0\): la retta è orizzontale, non sale e non scende.

Il valore assoluto \(|m|\) dice quanto è ripida. Una retta con \(m = -4\) è più ripida di una con \(m = 3\), anche se una scende e l'altra sale: conta \(|-4| = 4 > 3\). Più \(|m|\) si avvicina a \(0\), più la retta è "sdraiata"; più cresce, più la retta si avvicina alla verticale.

Le rette verticali non hanno coefficiente angolare

Prendi due punti con la stessa ascissa, per esempio \(A(2;\, 1)\) e \(B(2;\, 5)\). La retta che li unisce è verticale, \(x = 2\). Se provi a usare la formula:

La divisione per zero non ha senso: una retta verticale non ha coefficiente angolare. A parole: non c'è nessun numero che dica "quanto sale per ogni passo a destra", perché sulla retta verticale non si può fare nemmeno un passo a destra.

Trovare \(m\) dall'equazione

Dalla forma esplicita

Se l'equazione è scritta come \(y = mx + q\), il coefficiente angolare è il numero che moltiplica \(x\). In \(y = -5x + 2\) è \(m = -5\); in \(y = \frac{x}{4} - 1\) è \(m = \frac{1}{4}\); in \(y = 7\) è \(m = 0\).

La condizione importante è che \(y\) sia da sola a sinistra, con coefficiente \(1\).

Dalla forma implicita

Se la retta è scritta come \(ax + by + c = 0\) con \(b \neq 0\), non serve ricavare \(y\) ogni volta: basta la regola

Se invece \(b = 0\), l'equazione diventa \(ax + c = 0\), cioè \(x = -\frac{c}{a}\): una retta verticale, senza coefficiente angolare. La formula \(-\frac{a}{b}\) se ne accorge da sola, perché richiederebbe di dividere per zero.

Trovare \(m\) da un grafico

Quando hai la retta disegnata su una quadrettatura:

1. scegli due punti della retta che cadono esattamente su un incrocio della griglia;
2. conta quanti quadretti ti sposti in orizzontale per andare dal primo al secondo (verso destra);
3. conta quanti quadretti sali (positivo) o scendi (negativo) nello stesso tragitto;
4. dividi il secondo numero per il primo.

Il trucco funziona anche al contrario, per disegnare una retta di cui conosci un punto e il coefficiente angolare. Con \(m = \frac{2}{3}\) parti dal punto, fai \(3\) quadretti a destra e \(2\) in su: hai trovato un secondo punto, e due punti bastano per tracciare la retta. Con \(m = -\frac{2}{3}\) fai \(3\) a destra e \(2\) in giù.

Il legame con l'angolo

Il nome "coefficiente angolare" viene dal fatto che \(m\) determina l'angolo \(\alpha\) che la retta forma con il semiasse positivo delle \(x\), misurato in senso antiorario. Nel triangolo rettangolo con cateti \(\Delta x\) e \(\Delta y\), il rapporto tra cateto opposto e cateto adiacente all'angolo è proprio la tangente:

Alcuni valori da ricordare:

La regola spiega anche perché le rette verticali non hanno coefficiente angolare: formano un angolo di \(90°\) con l'asse \(x\), e \(\tan 90°\) non esiste.

Il coefficiente angolare come velocità

In fisica e in economia si usano rette in cui \(x\) e \(y\) non sono semplici coordinate, ma grandezze con un'unità di misura. Il coefficiente angolare allora ha anche lui un'unità: unità di \(y\) divisa unità di \(x\). Ed è quasi sempre una grandezza con un nome preciso.

• Se \(y\) è la posizione in metri e \(x\) il tempo in secondi, \(m\) si misura in metri al secondo: è la velocità.
• Se \(y\) è il costo in euro e \(x\) i chilometri percorsi, \(m\) è il costo al chilometro.
• Se \(y\) è la temperatura e \(x\) l'altitudine, \(m\) dice di quanti gradi cambia la temperatura per ogni metro di salita.

Questa lettura è la porta verso l'analisi: la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto, cioè una velocità di variazione istantanea.

Rette parallele e perpendicolari

Il coefficiente angolare permette di capire la posizione di due rette senza disegnarle.

Il coefficiente della perpendicolare si ottiene quindi in due mosse: capovolgi la frazione e cambia il segno. La perpendicolare a una retta con \(m = \frac{2}{3}\) ha \(m = -\frac{3}{2}\); la perpendicolare a una retta con \(m = -4\) ha \(m = \frac{1}{4}\).

Tre punti sono allineati?

Se tre punti \(A\), \(B\), \(C\) stanno sulla stessa retta, il coefficiente angolare calcolato con \(A\) e \(B\) deve essere uguale a quello calcolato con \(B\) e \(C\). È il modo più rapido per verificare l'allineamento.

Gli errori più comuni

Domande frequenti

Il coefficiente angolare può essere una frazione?

Sì, e spesso conviene lasciarlo in forma di frazione: \(m = \frac{2}{3}\) si legge subito come "\(3\) a destra, \(2\) in su", mentre \(0{,}666\ldots\) non dice niente al primo sguardo.

Una pendenza del \(100\%\) è una parete verticale?

No. Pendenza \(100\%\) vuol dire \(m = 1\): si sale di un metro per ogni metro in orizzontale, cioè un angolo di \(45°\). Una parete verticale non ha pendenza in percentuale, per lo stesso motivo per cui la retta verticale non ha coefficiente angolare.

Il coefficiente angolare dipende dall'unità di misura degli assi?

Il numero sì, se gli assi hanno unità diverse. Se la stessa strada è descritta con la \(x\) in chilometri e la \(y\) in metri, il coefficiente diventa \(1000\) volte più grande. Per questo, nei problemi concreti, conviene sempre scrivere l'unità di \(m\), come "\(5\) m/s".

Come si trova l'equazione della retta una volta noto \(m\)?

Serve un punto \(P(x_0;\, y_0)\) della retta; poi l'equazione è \(y - y_0 = m(x - x_0)\). Il procedimento completo è nella lezione sull'equazione della retta.

Esercizi