La sottrazione con il prestito

Il problema

Prova a fare \(52 - 38\) in colonna. Si parte dalle unità: bisogna togliere \(8\) da \(2\), e non si può. Molti, a questo punto, fanno \(8 - 2 = 6\) e scrivono \(26\). È sbagliato: il risultato giusto è \(14\).

Il prestito è il modo per sistemare una colonna in cui la cifra di sopra è più piccola di quella di sotto. Di solito si impara come una regola da applicare ("chiedo in prestito una decina..."), ma dietro c'è un'idea semplice. Se la capisci, non sbagli più nemmeno nei casi complicati, come quelli con gli zeri.

Perché funziona: lo stesso numero scritto in un altro modo

Il numero \(52\) è fatto di \(5\) decine e \(2\) unità. Ma una decina vale \(10\) unità, quindi possiamo "aprire" una decina e scrivere lo stesso numero come \(4\) decine e \(12\) unità:

Il valore non cambia: abbiamo solo spostato \(10\) unità dalla colonna delle decine a quella delle unità. Ora la sottrazione si fa colonna per colonna senza problemi:

Il prestito è tutto qui: si cambia una decina in dieci unità. Non si "prende" niente da nessuno e niente va restituito.

Il procedimento in colonna

Un consiglio pratico: quando fai un prestito, cancella la cifra e scrivi sopra quella nuova, piccola. A fine esercizio si vede subito dove hai prestato, ed è più facile controllare.

Il prestito con gli zeri

Il caso che mette in difficoltà quasi tutti è quando la colonna a cui chiedere il prestito contiene uno zero: non ha niente da prestare. Allora si va ancora più a sinistra, fino alla prima cifra diversa da zero.

C'è anche una scorciatoia per i numeri tondi come \(1\,000\), \(5\,000\) o \(600\): invece di sottrarre dal numero tondo, sottrai da quello appena più piccolo e poi aggiungi \(1\). Da \(999\) si sottrae sempre senza prestiti, perché ogni cifra è un \(9\).

Un altro metodo: aggiungere a tutti e due

C'è un secondo modo di fare la sottrazione in colonna, insegnato in alcune scuole e in diversi paesi. Si basa sulla proprietà invariantiva: se aggiungi lo stesso numero a tutti e due i termini, la differenza non cambia.

In colonna funziona così: quando la cifra di sopra è troppo piccola, le aggiungi \(10\) (come nel prestito), ma invece di togliere \(1\) alla colonna di sopra a sinistra, aggiungi \(1\) alla cifra di sotto in quella colonna. Hai aggiunto \(10\) unità sopra e una decina sotto: la stessa quantità a tutti e due.

Non c'è un metodo migliore dell'altro: usa quello che hai imparato a scuola, o quello che ti confonde meno. L'importante è non mescolarli nello stesso calcolo.

Controllare il risultato

Due controlli rapidi, da fare sempre quando i numeri sono grandi.

La stima. Prima di calcolare, arrotonda: \(7\,315 - 2\,648\) è circa \(7\,300 - 2\,600 = 4\,700\). Il risultato esatto, \(4\,667\), è vicino. Se ti fosse uscito \(5\,667\) o \(467\), la stima ti avrebbe avvisato subito.

Con i numeri decimali

Le regole sono le stesse, con un'attenzione in più: le virgole vanno incolonnate, e se un numero ha meno cifre decimali si completano con degli zeri.

A mente, senza colonne

Per i numeri piccoli la colonna non serve. Due strategie molto usate:

• Contare in avanti, come fa chi dà il resto alla cassa. Per \(52 - 38\): da \(38\) a \(40\) ci sono \(2\), da \(40\) a \(52\) ci sono \(12\); in tutto \(14\).
• Arrotondare e correggere. \(38\) è quasi \(40\): \(52 - 40 = 12\), ma ho tolto \(2\) di troppo, quindi li rimetto: \(12 + 2 = 14\).

Gli errori più comuni

Domande frequenti

Prestito o riporto?

Il riporto è quello dell'addizione: quando una colonna supera \(9\), una decina passa alla colonna a sinistra. Il prestito è quello della sottrazione e va nella direzione opposta: una decina della colonna a sinistra si apre in dieci unità. Sono due facce della stessa idea, il valore posizionale.

E se il numero di sotto è più grande di quello di sopra?

Allora il risultato è negativo. Si fa la sottrazione al contrario e si mette il segno meno: \(38 - 52 = -(52 - 38) = -14\).

Perché si comincia da destra?

Perché i prestiti si spostano da una colonna a quella alla sua destra. Se partissi da sinistra, scopriresti solo dopo che ti serviva un prestito da una colonna che hai già calcolato, e dovresti rifarla.

Esercizi